*Kartezyen Çarpımı (A × B) Nedir?*İki kümenin elemanları kullanılarak oluşturulan *sıralı ikililer kümesidir.*
*Tanım:*
A ve B iki küme olsun.
*A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}*
Yani:
- İlk eleman A’dan,
- İkinci eleman B’den alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesidir
*Örnek:*
A = {1, 2}, B = {x, y}
A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
*Eleman sayısı:*
|A × B| = |A| × |B|
Yani A’da 2, B’de 2 eleman varsa, A × B’de 2×2 = *4 eleman* olur.
*Bağıntı Nedir?*Bir bağıntı, A × B'nin bir *alt kümesidir.*
Yani, kartezyen çarpımı içindeki *bazı sıralı ikililer* bir bağıntı oluşturabilir.
*Tanım:*
A ile B arasında tanımlı *herhangi bir kurala göre* oluşturulan sıralı ikililer kümesine *bağıntı* denir.
*Örnek:*
A = {1, 2, 3}
Bağıntı: “a, b’den küçüktür” olsun.
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} → bu, A × A'nın alt kümesidir.
*Bağıntının Özellikleri* (Genelde A × A üzerinde tanımlanır)
1. *Refleksif:* (a, a) her eleman için vardır.
2. *Simetrik:* (a, b) varsa, (b, a) da vardır.
3. *Antisimetik:* (a, b) ve (b, a) varsa, a = b olmalı.
4. *Transitif:* (a, b) ve (b, c) varsa, (a, c) de vardır.
*Örnek Küme:*
A = {1, 2, 3}
A × A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Şimdi A × A’nın bir alt kümesi olarak aşağıdaki bağıntıyı tanımlayalım:
*R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)}*
*Bu bağıntının özelliklerini inceleyelim:*
1. *Refleksif mi?*
R’de (1,1), (2,2), (3,3) var → *Evet, refleksif.*
2. *Simetrik mi?*
(1,2) ∈ R ama (2,1) ∉ R → *Hayır, simetrik değil.*
3. *Antisimetik mi?*
(1,2) ∈ R ama (2,1) ∉ R → Antisimetiklik bozulmaz.
Yani (a,b) ve (b,a) aynı anda varsa, a = b olmalı. Burada o durum yok. → *Evet, antisimetik.*
4. *Transitif mi?*
(1,2) ve (2,3) ∈ R → Ama (1,3) ∉ R → *Hayır, transitif değil.*