Tabii! İşte *türev* konusunun detaylı ama sade bir anlatımı:
---
*Türev Nedir?*
Türev, bir fonksiyonun *değişim hızını* ya da *eğimini* ifade eder. Başka bir deyişle, bir fonksiyonun *bir noktadaki anlık değişim miktarını* verir.
Örneğin:
- Arabanın yol zaman grafiğinde, o anki *hız* türevdir.
- Bir fonksiyonun grafiğinde, bir noktadaki *teğetin eğimi* türevdir.
---
*Matematiksel Olarak Türev*
Bir fonksiyon *f(x)*'in *x = a* noktasındaki türevi şu şekilde tanımlanır:
*f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) – f(a)] / h*
Bu ifade, iki noktadan geçen doğrunun eğimini ifade eder; limit ile bu iki nokta aynı noktaya yaklaştığında, o noktadaki teğet eğimini yani türevi bulmuş oluruz.
---
*Türevin Geometrik Anlamı*
Grafikte bir fonksiyonun türevi, o noktadaki *teğetin eğimi* demektir.
Örnek:
*f(x) = x²* fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi:
- f'(x) = 2x
- f'(2) = 4 → Yani bu noktada grafiğin eğimi 4’tür.
---
*Türev Alma Kuralları*
1. *Sabitin Türevi*
- f(x) = c → f'(x) = 0
2. *x’in Türevi*
- f(x) = x → f'(x) = 1
3. *xⁿ’in Türevi*
- f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
4. *Toplama/Çıkarma*
- (f ± g)' = f' ± g'
5. *Çarpım Kuralı*
- (f·g)' = f'·g + f·g'
6. *Bölüm Kuralı*
- (f/g)' = (f'·g – f·g') / g² 7. *Zincir Kuralı* (Bileşke Fonksiyonlarda)
- d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
---
*Türevin Uygulamaları*
1. *Grafik çizimi*: Fonksiyonun artan/azalan olduğu yerleri ve maksimum/minimum noktaları bulmak için.
2. *Fizikte*: Hız, ivme gibi kavramlar türevle hesaplanır.
3. *Ekonomi*: Maliyet, kâr değişim oranları.
4. *Mühendislik*: Sistemlerin değişim hızı, akış vs.
---
Örnek
f(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 fonksiyonunun türevi:
f'(x) = 9x² – 10x + 2
Bu, her x değeri için eğimi verir.
x = 1 için eğim: f'(1) = 9 – 10 + 2 = 1
---
*Türev Nedir?*Türev, bir fonksiyonun *değişim hızını* ya da *eğimini* ifade eder. Başka bir deyişle, bir fonksiyonun *bir noktadaki anlık değişim miktarını* verir.
Örneğin:
- Arabanın yol zaman grafiğinde, o anki *hız* türevdir.
- Bir fonksiyonun grafiğinde, bir noktadaki *teğetin eğimi* türevdir.
---
*Matematiksel Olarak Türev*Bir fonksiyon *f(x)*'in *x = a* noktasındaki türevi şu şekilde tanımlanır:
*f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) – f(a)] / h*
Bu ifade, iki noktadan geçen doğrunun eğimini ifade eder; limit ile bu iki nokta aynı noktaya yaklaştığında, o noktadaki teğet eğimini yani türevi bulmuş oluruz.
---
*Türevin Geometrik Anlamı*Grafikte bir fonksiyonun türevi, o noktadaki *teğetin eğimi* demektir.
Örnek:
*f(x) = x²* fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi:
- f'(x) = 2x
- f'(2) = 4 → Yani bu noktada grafiğin eğimi 4’tür.
---
*Türev Alma Kuralları*1. *Sabitin Türevi*
- f(x) = c → f'(x) = 0
2. *x’in Türevi*
- f(x) = x → f'(x) = 1
3. *xⁿ’in Türevi*
- f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
4. *Toplama/Çıkarma*
- (f ± g)' = f' ± g'
5. *Çarpım Kuralı*
- (f·g)' = f'·g + f·g'
6. *Bölüm Kuralı*
- (f/g)' = (f'·g – f·g') / g² 7. *Zincir Kuralı* (Bileşke Fonksiyonlarda)
- d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
---
*Türevin Uygulamaları*1. *Grafik çizimi*: Fonksiyonun artan/azalan olduğu yerleri ve maksimum/minimum noktaları bulmak için.
2. *Fizikte*: Hız, ivme gibi kavramlar türevle hesaplanır.
3. *Ekonomi*: Maliyet, kâr değişim oranları.
4. *Mühendislik*: Sistemlerin değişim hızı, akış vs.
---
Örnekf(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 fonksiyonunun türevi:
f'(x) = 9x² – 10x + 2
Bu, her x değeri için eğimi verir.
x = 1 için eğim: f'(1) = 9 – 10 + 2 = 1